如何求相交圆公共弦长

【如何求相交圆公共弦长】当两个圆相交时，它们的交点之间形成的线段称为公共弦。求解公共弦的长度是几何中常见的问题，尤其在解析几何和圆的相关知识中应用广泛。下面将通过总结与表格的形式，系统地介绍如何求相交圆的公共弦长。

一、基本概念

- 圆的一般方程：

圆的标准方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中 $(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。

- 公共弦：

当两个圆相交时，它们的交点之间的线段称为公共弦。

二、求公共弦长的方法

方法1：利用圆心距与半径关系

若已知两个圆的圆心分别为 $O_1(x_1, y_1)$、$O_2(x_2, y_2)$，半径分别为 $r_1$、$r_2$，则：

- 圆心距 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

- 若两圆相交，则满足 $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$

- 公共弦长 $L = 2\sqrt{r_1^2 - \left(\frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d}\right)^2}$

方法2：联立方程求交点

- 将两个圆的方程联立，消去一个变量（如 $y$），得到关于 $x$ 的二次方程。

- 解出交点坐标 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$

- 使用距离公式计算公共弦长：

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

方法3：利用垂直平分线法

- 连接两个圆心的直线是公共弦的垂直平分线。

- 找出该直线上某一点到圆心的距离，从而构造直角三角形，使用勾股定理求得弦长。

三、步骤总结表

四、示例

设两圆分别为：

- 圆1：$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

- 圆2：$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$

- 圆心分别为 $O_1(0, 0)$、$O_2(3, 4)$

- 半径分别为 $r_1 = 5$、$r_2 = 4$

- 圆心距 $d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = 5$

由于 $5 - 4 = 1 < 5 < 9$，两圆相交。

使用公式法计算公共弦长：

$$

L = 2\sqrt{r_1^2 - \left(\frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d}\right)^2}

= 2\sqrt{25 - \left(\frac{25 + 25 - 16}{10}\right)^2}

= 2\sqrt{25 - \left(\frac{34}{10}\right)^2}

= 2\sqrt{25 - 11.56} = 2\sqrt{13.44} ≈ 7.55

$$

五、结论

求相交圆的公共弦长，关键在于理解两圆的位置关系，并根据具体情况选择合适的计算方法。无论是通过几何关系、代数联立还是公式法，都能准确得出公共弦的长度。掌握这些方法有助于在实际问题中快速解决问题。

　　免责声明：本文由用户上传，与本网站立场无关。财经信息仅供读者参考，并不构成投资建议。投资者据此操作，风险自担。 如有侵权请联系删除！