如何求出一个函数的单调区间

【如何求出一个函数的单调区间】在数学中，函数的单调性是研究函数变化趋势的重要工具。了解一个函数在哪些区间上是递增或递减的，有助于我们更好地理解其图像特征和行为规律。本文将总结求解函数单调区间的步骤，并通过表格形式清晰展示关键信息。

一、求函数单调区间的步骤

1. 确定定义域

首先，明确函数的定义域，因为单调性的分析只能在定义域内进行。

2. 求导数

对函数求一阶导数 $ f'(x) $，导数的符号可以判断函数的增减情况。

3. 求导数的零点与不可导点

解方程 $ f'(x) = 0 $，找出可能的极值点；同时检查导数不存在的点（如分母为零、根号下负数等）。

4. 划分区间

将定义域按照上述关键点划分为若干个小区间。

5. 判断每个区间的单调性

在每个区间内选取一个测试点，代入导数 $ f'(x) $，根据正负判断函数在该区间的增减性。

6. 写出单调区间

根据判断结果，写出函数的单调递增或递减区间。

二、总结表格

三、示例说明（以函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 为例）

- 定义域：$ (-\infty, +\infty) $

- 导数：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $

- 零点：$ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm1 $

- 区间划分：$ (-\infty, -1) $, $ (-1, 1) $, $ (1, +\infty) $

- 测试点：

- 在 $ (-\infty, -1) $ 取 $ x = -2 $，得 $ f'(-2) = 9 > 0 $ → 递增

- 在 $ (-1, 1) $ 取 $ x = 0 $，得 $ f'(0) = -3 < 0 $ → 递减

- 在 $ (1, +\infty) $ 取 $ x = 2 $，得 $ f'(2) = 9 > 0 $ → 递增

结论：

- 单调递增区间：$ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $

- 单调递减区间：$ (-1, 1) $

通过以上步骤和方法，我们可以系统地分析函数的单调性，从而更深入地理解其变化规律。

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